MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovprc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovprc1 6724
Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
ovprc1.1 Rel dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
ovprc1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
21con3i 150 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 ovprc1.1 . . 3 Rel dom 𝐹
43ovprc 6723 . 2 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
52, 4syl 17 1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  (class class class)co 6690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-rel 5150  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fv 5934  df-ov 6693
This theorem is referenced by:  mapdom2  8172  setsnid  15962  ressbas  15977  resslem  15980  ressinbas  15983  ressress  15985  oduval  17177  oduleval  17178  gsum0  17325  oppgval  17823  oppgplusfval  17824  mgpval  18538  opprval  18670  srasca  19229  rlmsca2  19249  resspsrbas  19463  mpfrcl  19566  psrbaspropd  19653  mplbaspropd  19655  evl1fval1  19743  dsmmval  20126  dsmmbas2  20129  dsmmfi  20130  qtopres  21549  fgabs  21730  tnglem  22491  tngds  22499  tchval  23063  resvsca  29958  resvlem  29959  mapco2g  37594  mzpmfp  37627  mendbas  38071
  Copyright terms: Public domain W3C validator