Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval5lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval5lem1 41386
 Description: |- ( ph -> ( sum^ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) <_ ( ( sum^ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) ) (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval5lem1.a ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolval5lem1.b ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolval5lem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
ovolval5lem1.c 𝐶 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐴 < 𝐵}
Assertion
Ref Expression
ovolval5lem1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem ovolval5lem1
StepHypRef Expression
1 nfv 1995 . . 3 𝑛𝜑
2 nnex 11228 . . . 4 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ V)
4 volf 23517 . . . . 5 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
6 ioombl 23553 . . . . 5 ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵) ∈ dom vol
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵) ∈ dom vol)
85, 7ffvelrnd 6503 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
91, 3, 8sge0xrclmpt 41162 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ∈ ℝ*)
10 0xr 10288 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
12 pnfxr 10294 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
14 ovolval5lem1.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 ovolval5lem1.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 volicore 41315 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
18 ovolval5lem1.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1918rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2019adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
21 2nn 11387 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23 nnnn0 11501 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
24 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2522, 23, 24syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2625nnred 11237 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
2726adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
2825nnne0d 11267 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ≠ 0)
2928adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
3020, 27, 29redivcld 11055 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3117, 30readdcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
3231rexrd 10291 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
3315rexrd 10291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 icombl 23552 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3514, 33, 34syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
36 volge0 40694 . . . . . 6 ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
3735, 36syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
3818adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ+)
3925nnrpd 12073 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
4039adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
4138, 40rpdivcld 12092 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
4241rpge0d 12079 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑊 / (2↑𝑛)))
4317, 30, 37, 42addge0d 10805 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
44 rexr 10287 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
4512a1i 11 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
46 ltpnf 12159 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) < +∞)
4744, 45, 46xrltled 40004 . . . . 5 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ +∞)
4831, 47syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ +∞)
4911, 13, 32, 43, 48eliccxrd 40272 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
501, 3, 49sge0xrclmpt 41162 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) ∈ ℝ*)
515, 35ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
521, 3, 51sge0xrclmpt 41162 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) ∈ ℝ*)
5319rexrd 10291 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
5452, 53xaddcld 12336 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
5514, 30resubcld 10660 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
56 volioore 40724 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
5755, 15, 56syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
5857adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
59 iftrue 4231 . . . . . . 7 ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵 → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))))
6059adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))))
6115recnd 10270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6214recnd 10270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6330recnd 10270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
6461, 62, 63subsubd 10622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6564adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6658, 60, 653eqtrd 2809 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6715, 14resubcld 10660 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
6814, 15sublevolico 40718 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
6967, 17, 30, 68leadd1dd 10843 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7069adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7166, 70eqbrtrd 4808 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7257adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
73 iffalse 4234 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵 → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = 0)
7473adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = 0)
7572, 74eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = 0)
7643adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7775, 76eqbrtrd 4808 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7871, 77pm2.61dan 814 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
791, 3, 8, 49, 78sge0lempt 41144 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))))
8017, 30rexaddd 12270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))) = ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
8180eqcomd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) = ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))
8281mpteq2dva 4878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛)))))
8382fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))))
8430rexrd 10291 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
85 rexr 10287 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
8612a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
87 ltpnf 12159 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) < +∞)
8885, 86, 87xrltled 40004 . . . . . . 7 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) ≤ +∞)
8930, 88syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ≤ +∞)
9011, 13, 84, 42, 89eliccxrd 40272 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
911, 3, 51, 90sge0xadd 41169 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛))))))
9210a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
9418rpge0d 12079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑊)
9519ltpnfd 12160 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 < +∞)
9692, 93, 53, 94, 95elicod 12429 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (0[,)+∞))
9796sge0ad2en 41165 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛)))) = 𝑊)
9897oveq2d 6809 . . . 4 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
9983, 91, 983eqtrd 2809 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
10050, 99xreqled 40062 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
1019, 50, 54, 79, 100xrletrd 12198 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351  ifcif 4225   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  ℝ*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277   − cmin 10468   / cdiv 10886  ℕcn 11222  2c2 11272  ℕ0cn0 11494  ℝ+crp 12035   +𝑒 cxad 12149  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  ↑cexp 13067  volcvol 23451  Σ^csumge0 41096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-sumge0 41097 This theorem is referenced by:  ovolval5lem2  41387
 Copyright terms: Public domain W3C validator