Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval2 41372
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Σ^. See ovolval 23461 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovolval2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝜑,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolval2
StepHypRef Expression
1 ovolval2.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 eqid 2770 . . . 4 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
32ovolval 23461 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
52a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6 reex 10228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
76, 6xpex 7108 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ × ℝ) ∈ V
8 inss2 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
9 mapss 8053 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ))
107, 8, 9mp2an 664 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ)
1110sseli 3746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ))
12 1zzd 11609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ) → 1 ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 1 ∈ ℤ)
1413adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15 nnuz 11924 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
16 absfico 39922 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶(0[,)+∞)
17 subf 10484 . . . . . . . . . . . . . 14 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
18 fco 6198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:ℂ⟶(0[,)+∞) ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
1916, 17, 18mp2an 664 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
21 rr2sscn2 40092 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
23 elmapi 8030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
2411, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
2520, 22, 24fcoss 39914 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
2625adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
27 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
2814, 15, 26, 27sge0seq 41174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
2928eqcomd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
3029eqeq2d 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))))
3130anbi2d 606 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
3231rexbidva 3196 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
3332rabbidv 3338 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))})
34 ovolval2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
3534eqcomi 2779 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
375, 33, 363eqtrd 2808 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
3837infeq1d 8538 . 2 (𝜑 → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
394, 38eqtrd 2804 1 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721   cuni 4572   × cxp 5247  ran crn 5250  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  supcsup 8501  infcinf 8502  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  +∞cpnf 10272  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  cz 11578  (,)cioo 12379  [,)cico 12381  seqcseq 13007  abscabs 14181  vol*covol 23449  Σ^csumge0 41090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-ovol 23451  df-sumge0 41091
This theorem is referenced by:  ovolval3  41375
  Copyright terms: Public domain W3C validator