Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolssnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolssnul 23426
 Description: A subset of a nullset is null. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolssnul ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolssnul
StepHypRef Expression
1 ovolss 23424 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
213adant3 1124 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
3 simp3 1130 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐵) = 0)
42, 3breqtrd 4818 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ 0)
5 sstr 3740 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
653adant3 1124 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 ovolge0 23420 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
9 ovolcl 23417 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
11 0xr 10249 . . 3 0 ∈ ℝ*
12 xrletri3 12149 . . 3 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
1310, 11, 12sylancl 697 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
144, 8, 13mpbir2and 995 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  ℝcr 10098  0cc0 10099  ℝ*cxr 10236   ≤ cle 10238  vol*covol 23402 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-ovol 23404 This theorem is referenced by:  ovolctb2  23431  ovoliunnul  23446  nulmbl  23474  volivth  23546  mbfeqalem  23579  itg10a  23647  itg1ge0a  23648  itgioo  23752  itgsplitioo  23774  voliunnfl  33735  cnambfre  33740  itgvol0  40656  ibliooicc  40659
 Copyright terms: Public domain W3C validator