Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovollb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovollb 23293
 Description: The outer volume is a lower bound on the sum of all interval coverings of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovollb.1 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
ovollb ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))

Proof of Theorem ovollb
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹))
2 ioof 12309 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4 inss2 3867 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5 rexpssxrxp 10122 . . . . . . . . 9 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
64, 5sstri 3645 . . . . . . . 8 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7 fss 6094 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
83, 6, 7sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
9 fco 6096 . . . . . . 7 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
102, 8, 9sylancr 696 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
11 frn 6091 . . . . . 6 (((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
13 sspwuni 4643 . . . . 5 (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
1412, 13sylib 208 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
151, 14sstrd 3646 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 eqid 2651 . . . 4 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
1716ovolval 23288 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
1815, 17syl 17 . 2 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
19 ssrab2 3720 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ ℝ*
20 ovollb.1 . . . 4 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
2116, 20elovolmr 23290 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
22 infxrlb 12202 . . 3 (({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ ℝ* ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}) → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2319, 21, 22sylancr 696 . 2 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2418, 23eqbrtrd 4707 1 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → (vol*‘𝐴) ≤ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  {crab 2945   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  infcinf 8388  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  (,)cioo 12213  seqcseq 12841  abscabs 14018  vol*covol 23277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-ovol 23279 This theorem is referenced by:  ovollb2lem  23302  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem2  23317  ovolscalem1  23327  uniioovol  23393  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  uniioombllem5  23401  mblfinlem3  33578  mblfinlem4  33579  ismblfin  33580
 Copyright terms: Public domain W3C validator