Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolioo 23555
 Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolioo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem ovolioo
StepHypRef Expression
1 ioombl 23552 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2 mblvol 23517 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵))
4 iccmbl 23553 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
5 mblvol 23517 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
763adant3 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
81a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
9 prssi 4485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
1093adant3 1125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
11 prfi 8390 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12 ovolfi 23481 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
1311, 10, 12sylancr 567 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
14 nulmbl 23522 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
1510, 13, 14syl2anc 565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
16 df-pr 4317 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1716ineq2i 3960 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
18 indi 4020 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
1917, 18eqtri 2792 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
20 simp1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120ltnrd 10372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22 eliooord 12437 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
2322simpld 476 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
2421, 23nsyl 137 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25 disjsn 4381 . . . . . . . . 9 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2624, 25sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
27 simp2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2827ltnrd 10372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
29 eliooord 12437 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵))
3029simprd 477 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
3128, 30nsyl 137 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
32 disjsn 4381 . . . . . . . . 9 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3331, 32sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
3426, 33uneq12d 3917 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
35 un0 4109 . . . . . . 7 (∅ ∪ ∅) = ∅
3634, 35syl6eq 2820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = ∅)
3719, 36syl5eq 2816 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
38 ioossicc 12463 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
40 iccssre 12459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41403adant3 1125 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
42 ovolicc 23510 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
4327, 20resubcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2849 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
45 ovolsscl 23473 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
4639, 41, 44, 45syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
473, 46syl5eqel 2853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
48 mblvol 23517 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ dom vol → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
4915, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
5049, 13eqtrd 2804 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
51 0re 10241 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5250, 51syl6eqel 2857 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
53 volun 23532 . . . . 5 ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
548, 15, 37, 47, 52, 53syl32anc 1483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
55 rexr 10286 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
56 rexr 10286 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
57 id 22 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
58 prunioo 12507 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
5955, 56, 57, 58syl3an 1162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
6059fveq2d 6336 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6150oveq2d 6808 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0))
6247recnd 10269 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℂ)
6362addid1d 10437 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
6461, 63eqtrd 2804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
6554, 60, 643eqtr3d 2812 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
667, 65, 423eqtr3d 2812 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
673, 66syl5eqr 2818 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3719   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  {csn 4314  {cpr 4316   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  ℝcr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140  ℝ*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  vol*covol 23449  volcvol 23450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cmp 21410  df-ovol 23451  df-vol 23452 This theorem is referenced by:  volioo  23556  ioovolcl  23557  ovolfs2  23558  ioorcl2  23559  uniioovol  23566  uniioombllem2  23570  uniioombllem3a  23571  uniioombllem4  23573  uniioombllem6  23575  ftc1lem4  24021  itg2gt0cn  33790  ftc1cnnclem  33808  ftc1anclem7  33816
 Copyright terms: Public domain W3C validator