MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicopnf 23488
Description: The measure of a right-unbounded interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolicopnf (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

Proof of Theorem ovolicopnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10280 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
2 icossre 12443 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
31, 2mpan2 709 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
43adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
5 ovolge0 23445 . . . . . . 7 ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
7 mnflt0 12148 . . . . . . 7 -∞ < 0
8 ovolcl 23442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
109adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
11 mnfxr 10284 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
12 0xr 10274 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
13 xrltletr 12177 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
1411, 12, 13mp3an12 1559 . . . . . . . 8 ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
167, 15mpani 714 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
176, 16mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
18 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
19 xrrebnd 12188 . . . . . 6 ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
2010, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
2117, 18, 20mpbir2and 995 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ)
2221ltp1d 11142 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
23 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
24 peano2re 10397 . . . . . . . . 9 ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
2521, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
2625, 23readdcld 10257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ)
27 0red 10229 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ∈ ℝ)
2821lep1d 11143 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
2927, 21, 25, 6, 28letrd 10382 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
3023, 25addge02d 10804 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ↔ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
3129, 30mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))
32 ovolicc 23487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
3323, 26, 31, 32syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
3425recnd 10256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℂ)
3523recnd 10256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
3634, 35pncand 10581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
3733, 36eqtrd 2790 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
38 elicc2 12427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
3923, 26, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
4039biimpa 502 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
4140simp1d 1137 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4240simp2d 1138 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝐴𝑥)
43 elicopnf 12458 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)))
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)))
4541, 42, 44mpbir2and 995 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞))
4645ex 449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞)))
4746ssrdv 3746 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞))
48 ovolss 23449 . . . . . 6 (((𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
4947, 4, 48syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
5037, 49eqbrtrrd 4824 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
5125, 21lenltd 10371 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1)))
5250, 51mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
5322, 52pm2.65da 601 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
54 nltpnft 12184 . . 3 ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
559, 54syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
5653, 55mpbird 247 1 (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wss 3711   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  +∞cpnf 10259  -∞cmnf 10260  *cxr 10261   < clt 10262  cle 10263  cmin 10454  [,)cico 12366  [,]cicc 12367  vol*covol 23427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-rest 16281  df-topgen 16302  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-top 20897  df-topon 20914  df-bases 20948  df-cmp 21388  df-ovol 23429
This theorem is referenced by:  ovolre  23489
  Copyright terms: Public domain W3C validator