MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolfsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolfsf 23459
Description: Closure for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolfs.1 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ovolfsf (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem ovolfsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 absf 14285 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
2 subf 10489 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3 fco 6199 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
5 inss2 3982 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
6 ax-resscn 10199 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7 xpss12 5265 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
86, 6, 7mp2an 672 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
95, 8sstri 3761 . . . . . 6 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)
10 fss 6197 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℂ × ℂ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
119, 10mpan2 671 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ))
12 fco 6199 . . . . 5 (((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
134, 11, 12sylancr 575 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
14 ovolfs.1 . . . . 5 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
1514feq1i 6175 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶ℝ ↔ ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1613, 15sylibr 224 . . 3 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
1716ffnd 6185 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 Fn ℕ)
1816ffvelrnda 6504 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
19 ovolfcl 23454 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
20 subge0 10747 . . . . . . . 8 (((2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
2120ancoms 446 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))) ↔ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))))
2221biimp3ar 1581 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑥)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑥))) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2319, 22syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2414ovolfsval 23458 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) = ((2nd ‘(𝐹𝑥)) − (1st ‘(𝐹𝑥))))
2523, 24breqtrrd 4815 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
26 elrege0 12485 . . . 4 ((𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥)))
2718, 25, 26sylanbrc 572 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2827ralrimiva 3115 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞))
29 ffnfv 6533 . 2 (𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
3017, 28, 29sylanbrc 572 1 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4787   × cxp 5248  ccom 5254   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  1st c1st 7317  2nd c2nd 7318  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  cle 10281  cmin 10472  cn 11226  [,)cico 12382  abscabs 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184
This theorem is referenced by:  ovolsf  23460  ovollb2lem  23476  ovolunlem1a  23484  ovoliunlem1  23490  ovolshftlem1  23497  ovolicc2lem4  23508  ioombl1lem4  23549  ovolfs2  23559  uniioombllem2  23571  uniioombllem6  23576
  Copyright terms: Public domain W3C validator