Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolctb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolctb2 23481
 Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolctb2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolctb2
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 nnssre 11237 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
3 unss 3931 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℕ ⊆ ℝ) ↔ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
41, 2, 3sylanblc 699 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
5 nnenom 12994 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
6 domentr 8183 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
75, 6mpan2 709 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ℕ → 𝐴 ≼ ω)
87adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ≼ ω)
9 endom 8151 . . . . . . 7 (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
105, 9ax-mp 5 . . . . . 6 ℕ ≼ ω
11 unctb 9240 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ℕ ≼ ω) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
128, 10, 11sylancl 697 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
135ensymi 8174 . . . . 5 ω ≈ ℕ
14 domentr 8183 . . . . 5 (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
1512, 13, 14sylancl 697 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
16 reex 10240 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1716ssex 4955 . . . . . 6 ((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
184, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
19 ssun2 3921 . . . . 5 ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
20 ssdomg 8170 . . . . 5 ((𝐴 ∪ ℕ) ∈ V → (ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)))
2118, 19, 20mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ))
22 sbth 8248 . . . 4 (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
2315, 21, 22syl2anc 696 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
24 ovolctb 23479 . . 3 (((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
254, 23, 24syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
26 ssun1 3920 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
27 ovolssnul 23476 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
2826, 27mp3an1 1560 . 2 (((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
294, 25, 28syl2anc 696 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ∪ cun 3714   ⊆ wss 3716   class class class wbr 4805  ‘cfv 6050  ωcom 7232   ≈ cen 8121   ≼ cdom 8122  ℝcr 10148  0cc0 10149  ℕcn 11233  vol*covol 23452 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xadd 12161  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-xmet 19962  df-met 19963  df-ovol 23454 This theorem is referenced by:  ovol0  23482  ovolfi  23483  uniiccdif  23567  voliunnfl  33785  volsupnfl  33786
 Copyright terms: Public domain W3C validator