Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolcl 23466
 Description: The volume of a set is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolcl (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem ovolcl
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
21ovolval 23461 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
3 ssrab2 3836 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ ℝ*
4 infxrcl 12368 . . 3 ({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ ℝ* → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4ax-mp 5 . 2 inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
62, 5syl6eqel 2858 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∪ cuni 4575   × cxp 5248  ran crn 5251   ∘ ccom 5254  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑𝑚 cmap 8013  supcsup 8506  infcinf 8507  ℝcr 10141  1c1 10143   + caddc 10145  ℝ*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281   − cmin 10472  ℕcn 11226  (,)cioo 12380  seqcseq 13008  abscabs 14182  vol*covol 23450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-ovol 23452 This theorem is referenced by:  ovolf  23470  ovollecl  23471  ovolsslem  23472  ovolssnul  23475  ovollb2lem  23476  ovollb2  23477  ovolctb  23478  ovolun  23487  ovolunnul  23488  ovoliunlem2  23491  ovoliun  23493  ovoliunnul  23495  ovolscalem1  23501  ovolscalem2  23502  ovolicc1  23504  ovolicc  23511  ovolicopnf  23512  ovolre  23513  voliunlem3  23540  volsup  23544  uniioovol  23567  uniiccvol  23568  vitalilem4  23599  vitalilem5  23600  itg2gt0  23747  itg2cnlem2  23749  ftc1a  24020  mblfinlem3  33781  mblfinlem4  33782  ismblfin  33783  ovoliunnfl  33784  volsupnfl  33787  ismbl3  40717  ovolsplit  40719  ismbl4  40724
 Copyright terms: Public domain W3C validator