Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnn0val 41290
Description: The value of a (multidimensional) Lebesgue outer measure, defined on a nonzero-dimensional space of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnn0val.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnn0val.2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnn0val.3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ovnn0val.4 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnn0val (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnn0val
StepHypRef Expression
1 ovnn0val.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ovnn0val.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
3 ovnn0val.4 . . 3 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
41, 2, 3ovnval2 41284 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )))
5 ovnn0val.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
65neneqd 2938 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
76iffalsed 4242 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, inf(𝑀, ℝ*, < )) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
84, 7eqtrd 2795 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wrex 3052  {crab 3055  wss 3716  c0 4059  ifcif 4231   ciun 4673  cmpt 4882   × cxp 5265  ccom 5271  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑚 cmap 8026  Xcixp 8077  Fincfn 8124  infcinf 8515  cr 10148  0cc0 10149  *cxr 10286   < clt 10287  cn 11233  [,)cico 12391  cprod 14855  volcvol 23453  Σ^csumge0 41101  voln*covoln 41275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-mulcl 10211  ax-i2m1 10217  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-seq 13017  df-prod 14856  df-ovoln 41276
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  41297  ovnsslelem  41299  ovnlerp  41301  ovnhoilem2  41341  ovnlecvr2  41349
  Copyright terms: Public domain W3C validator