Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnlerp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnlerp 41097
Description: The Lebesgue outer measure of a subset of multidimensional real numbers can always be approximated by the total outer measure of a cover of half-open (multidimensional) intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlerp.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnlerp.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnlerp.a (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ovnlerp.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ovnlerp.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
Assertion
Ref Expression
ovnlerp (𝜑 → ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑧   𝑧,𝐸   𝑖,𝑋,𝑗,𝑘,𝑧   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ovnlerp
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . . . 4 𝑥𝜑
2 ovnlerp.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
3 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} ⊆ ℝ*
42, 3eqsstri 3668 . . . . 5 𝑀 ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑀 ⊆ ℝ*)
6 ovnlerp.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 ovnlerp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
86, 7, 2ovnpnfelsup 41094 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ 𝑀)
9 ne0i 3954 . . . . 5 (+∞ ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ ∅)
11 0red 10079 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
126, 7, 2ovnsupge0 41092 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ⊆ (0[,]+∞))
13 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 0 ∈ ℝ*)
15 pnfxr 10130 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → +∞ ∈ ℝ*)
17 ssel2 3631 . . . . . . . 8 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
18 iccgelb 12268 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑦)
1914, 16, 17, 18syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝑀 ⊆ (0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑀) → 0 ≤ 𝑦)
2019ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝑀 ⊆ (0[,]+∞) → ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦)
2112, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦)
22 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
2322ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑀 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦))
2423rspcev 3340 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑀 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑀 𝑥𝑦)
2511, 21, 24syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑀 𝑥𝑦)
26 ovnlerp.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
271, 5, 10, 25, 26infrpge 39880 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
28 nfv 1883 . . . 4 𝑤𝜑
29 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
30 ovnlerp.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
316, 30, 7, 2ovnn0val 41086 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
3231eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ*, < ) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
3332oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
34333ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
3529, 34breqtrd 4711 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑀𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸)) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
36353exp 1283 . . . 4 (𝜑 → (𝑤𝑀 → (𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) → 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))))
3728, 36reximdai 3041 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (inf(𝑀, ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)))
3827, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
39 nfcv 2793 . . 3 𝑤𝑀
40 nfrab1 3152 . . . 4 𝑧{𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
412, 40nfcxfr 2791 . . 3 𝑧𝑀
42 nfv 1883 . . 3 𝑧 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)
43 nfv 1883 . . 3 𝑤 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)
44 breq1 4688 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸) ↔ 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸)))
4539, 41, 42, 43, 44cbvrexf 3196 . 2 (∃𝑤𝑀 𝑤 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸) ↔ ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
4638, 45sylib 208 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑀 𝑧 ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  +crp 11870   +𝑒 cxad 11982  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  cprod 14679  volcvol 23278  Σ^csumge0 40897  voln*covoln 41071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-sumge0 40898  df-ovoln 41072
This theorem is referenced by:  ovncvrrp  41099
  Copyright terms: Public domain W3C validator