Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem11N 35775
Description: Lemma for osumclN 35776. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p + = (+𝑃𝐾)
osumcl.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
osumcllem11N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))

Proof of Theorem osumcllem11N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2955 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpl1 1227 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐶)
4 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 osumcl.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
64, 5psubclssatN 35750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
72, 3, 6syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌𝐶)
94, 5psubclssatN 35750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
102, 8, 9syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
11 osumcl.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
124, 11paddssat 35623 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
132, 7, 10, 12syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14 osumcl.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
154, 142polssN 35724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
162, 13, 15syl2anc 573 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
17 df-pss 3739 . . . . . . 7 ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))))
18 pssnel 4182 . . . . . . 7 ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1917, 18sylbir 225 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
20 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
2119, 20sylibr 224 . . . . 5 (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
22 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
2622, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem9N 35773 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
27 simp11 1245 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
28 simp12 1246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋𝐶)
2927, 28, 6syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
30 simp13 1247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌𝐶)
3127, 30, 9syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
32133adantr3 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
33323adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
344, 14polssatN 35717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
3527, 33, 34syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
364, 14polssatN 35717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
3727, 35, 36syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
38 simp23 1250 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
3937, 38sseldd 3753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
40 simp3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4122, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem10N 35774 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
4227, 29, 31, 39, 40, 41syl311anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
4326, 42pm2.21ddne 3027 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
44433exp 1112 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))
45443expd 1446 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))))
4645imp32 405 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))
4746rexlimdv 3178 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4821, 47syl5 34 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4916, 48mpand 675 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
5049necon1bd 2961 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))))
511, 50mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  wss 3723  wpss 3724  c0 4063  {csn 4317  cfv 6030  (class class class)co 6796  lecple 16156  joincjn 17152  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  +𝑃cpadd 35604  𝑃cpolN 35711  PSubClcpscN 35743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-polarityN 35712  df-psubclN 35744
This theorem is referenced by:  osumclN  35776
  Copyright terms: Public domain W3C validator