MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem1 25361
Description: Lemma for ostth 25373. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem1.3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
Assertion
Ref Expression
ostthlem1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 qrng.q . . . . 5 𝑄 = (ℂflds ℚ)
43qrngbas 25353 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
52, 4abvf 18871 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:ℚ⟶ℝ)
6 ffn 6083 . . 3 (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
71, 5, 63syl 18 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℚ)
8 ostthlem1.2 . . 3 (𝜑𝐺𝐴)
92, 4abvf 18871 . . 3 (𝐺𝐴𝐺:ℚ⟶ℝ)
10 ffn 6083 . . 3 (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℚ)
12 elq 11828 . . . 4 (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
133qdrng 25354 . . . . . . . . . 10 𝑄 ∈ DivRing
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
151adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
16 zq 11832 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
1716ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18 nnq 11839 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1918ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20 nnne0 11091 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
2120ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
223qrng0 25355 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
23 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (/r𝑄) = (/r𝑄)
242, 4, 22, 23abvdiv 18885 . . . . . . . . 9 (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
268adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺𝐴)
272, 4, 22, 23abvdiv 18885 . . . . . . . . . 10 (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
292, 22abv0 18879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
312, 22abv0 18879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
328, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
3330, 32eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
35 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝐺𝑘) = (𝐺‘0))
3634, 35eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
3733, 36syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
3938imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
40 elnn1uz2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
413qrng1 25356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (1r𝑄)
422, 41abv1 18881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
4313, 1, 42sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
442, 41abv1 18881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
4513, 8, 44sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
4643, 45eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
48 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘1))
4947, 48eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
5046, 49syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
5150imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 = 1) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
52 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5351, 52jaodan 843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5440, 53sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5554ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
57 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
58 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
5957, 58eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
6059rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6156, 60sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6255ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
6316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
643qrngneg 25357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((invg𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
6665eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
6766biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
68 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)))
69 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
7068, 69eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘))))
7170rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ∧ ((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
7262, 67, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
731ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
7416ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
75 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝑄) = (invg𝑄)
762, 4, 75abvneg 18882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
7773, 74, 76syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
788ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺𝐴)
792, 4, 75abvneg 18882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺𝑘))
8078, 74, 79syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺𝑘))
8172, 77, 803eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
82 elz 11417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
8382simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
8539, 61, 81, 84mpjao3dan 1435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8685adantrr 753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8754adantrl 752 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
8886, 87oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
8928, 88eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
9025, 89eqtr4d 2688 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)))
913qrngdiv 25358 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
9217, 19, 21, 91syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
9392fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
9492fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
9590, 93, 943eqtr3d 2693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
96 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
97 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
9896, 97eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
9995, 98syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
10099rexlimdvva 3067 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
10112, 100syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
102101imp 444 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
1037, 11, 102eqfnfvd 6354 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  cq 11826  s cress 15905  invgcminusg 17470  /rcdvr 18728  DivRingcdr 18795  AbsValcabv 18864  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  ostthlem2  25362  ostth2  25371
  Copyright terms: Public domain W3C validator