MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem1 25528
Description: Lemma for ostth2 25547, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 25547. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛𝑜(𝐴𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ostth2lem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem1 (𝜑𝐴 ≤ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11303 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 ostth2lem1.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 remulcl 10234 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7 1re 10252 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ostth2lem1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 difrp 12082 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
117, 9, 10sylancr 698 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
126, 11mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
135, 12rerpdivcld 12117 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14 expnbnd 13208 . . . 4 ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
1513, 9, 6, 14syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
16 nnnn0 11512 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 reexpcl 13092 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
189, 16, 17syl2an 495 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
1913adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
2012rpred 12086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22 nnre 11240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
2322adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 10283 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
2524, 18remulcld 10283 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
268ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 2nn 11398 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
28 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 nnmulcl 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
3027, 28, 29sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
31 nnnn0 11512 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
3326, 32reexpcld 13240 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
3430nnred 11248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
352ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3634, 35remulcld 10283 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
37 0red 10254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39 0lt1 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
4137, 38, 9, 40, 6lttrd 10411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
429, 41elrpd 12083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43 nnz 11612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
44 rpexpcl 13094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4542, 43, 44syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
46 peano2re 10422 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
4724, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
4824ltp1d 11167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
4916adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5042adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5150rpge0d 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
52 bernneq2 13206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴𝑘))
5326, 49, 51, 52syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴𝑘))
5424, 47, 18, 48, 53ltletrd 10410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴𝑘))
5524, 18, 45, 54ltmul1dd 12141 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
5623recnd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
57562timesd 11488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
5857oveq2d 6831 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
5926recnd 10281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6059, 49, 49expaddd 13225 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
6158, 60eqtrd 2795 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
6255, 61breqtrrd 4833 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63 oveq2 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
64 oveq1 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
6563, 64breq12d 4818 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
66 ostth2lem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6766ralrimiva 3105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6867ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6965, 68, 30rspcdva 3456 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7025, 33, 36, 62, 69ltletrd 10410 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7121recnd 10281 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
7218recnd 10281 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7371, 72, 56mul32d 10459 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)))
74 2cnd 11306 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
7535recnd 10281 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7674, 75, 56mul32d 10459 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7770, 73, 763brtr4d 4837 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
7821, 18remulcld 10283 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
795adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
80 nngt0 11262 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
8180adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
82 ltmul1 11086 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
8378, 79, 23, 81, 82syl112anc 1481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
8477, 83mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵))
8512rpgt0d 12089 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
8685adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
87 ltmuldiv2 11110 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
8818, 79, 21, 86, 87syl112anc 1481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
8984, 88mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
9018, 19, 89ltnsymd 10399 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
9190nrexdv 3140 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
9215, 91pm2.65da 601 . 2 (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
93 lenlt 10329 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
948, 7, 93sylancl 697 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
9592, 94mpbird 247 1 (𝜑𝐴 ≤ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  +crp 12046  cexp 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  25546
  Copyright terms: Public domain W3C validator