Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 30658
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvcelel.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
41, 2, 3orrvcval4 30654 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5 epelg 5059 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅 → (𝑥 E 𝐴𝑥𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 E 𝐴𝑥𝐴))
76rabbidv 3220 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
8 dfin5 3615 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
10 elssuni 4499 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅𝐴 𝔅)
11 unibrsiga 30377 . . . . . . 7 𝔅 = ℝ
1210, 11syl6sseq 3684 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅𝐴 ⊆ ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
14 sseqin2 3850 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2691 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 5501 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (𝑋𝐴))
184, 17eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cin 3606  wss 3607   cuni 4468   class class class wbr 4685   E cep 5057  ccnv 5142  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  𝔅cbrsiga 30372  Probcprb 30597  rRndVarcrrv 30630  RV/𝑐corvc 30645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-topgen 16151  df-top 20747  df-bases 20798  df-esum 30218  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-brsiga 30373  df-meas 30387  df-mbfm 30441  df-prob 30598  df-rrv 30631  df-orvc 30646
This theorem is referenced by:  orvcelel  30659  dstrvval  30660  dstrvprob  30661
  Copyright terms: Public domain W3C validator