Theorem orrvcval4 30866

Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
orrvcval4	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 30813	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 22785	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 30844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 30585	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 6804	. . . 4 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	syl6eleq 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	3, 5, 11, 12	orvcval4 30862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
14		uniretop 22786	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
15		rabeq 3342	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
17	16	imaeq2i 5605	. 2 ⊢ (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
18	13, 17	syl6eqr 2823	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  ∪ cuni 4574   class class class wbr 4786  ^◡ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250   “ cima 5252  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  (,)cioo 12380  topGenctg 16306  Topctop 20918  sigAlgebracsiga 30510  sigaGencsigagen 30541  𝔅_ℝcbrsiga 30584  MblFnMcmbfm 30652  Probcprb 30809  rRndVarcrrv 30842  ∘_RV/𝑐corvc 30857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ioo 12384  df-topgen 16312  df-top 20919  df-bases 20971  df-esum 30430  df-siga 30511  df-sigagen 30542  df-brsiga 30585  df-meas 30599  df-mbfm 30653  df-prob 30810  df-rrv 30843  df-orvc 30858

This theorem is referenced by:  orvcelval  30870  dstfrvel  30875  orvclteinc  30877