Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvccel 30868
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orrvccel.5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Assertion
Ref Expression
orrvccel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 30813 . . 3 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
4 retop 22785 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
71rrvmbfm 30844 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
86, 7mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
9 df-brsiga 30585 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
109oveq2i 6804 . . 3 (dom 𝑃MblFnM𝔅) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
118, 10syl6eleq 2860 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12 orrvccel.4 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
13 uniretop 22786 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
14 rabeq 3342 . . . 4 (ℝ = (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1513, 14ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16 orrvccel.5 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
1715, 16syl5eqelr 2855 . 2 (𝜑 → {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
183, 5, 11, 12, 17orvccel 30864 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065   cuni 4574   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  (,)cioo 12380  topGenctg 16306  Topctop 20918  Clsdccld 21041  sigAlgebracsiga 30510  sigaGencsigagen 30541  𝔅cbrsiga 30584  MblFnMcmbfm 30652  Probcprb 30809  rRndVarcrrv 30842  RV/𝑐corvc 30857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ioo 12384  df-topgen 16312  df-top 20919  df-bases 20971  df-cld 21044  df-esum 30430  df-siga 30511  df-sigagen 30542  df-brsiga 30585  df-meas 30599  df-mbfm 30653  df-prob 30810  df-rrv 30843  df-orvc 30858
This theorem is referenced by:  orvcgteel  30869  orvclteel  30874
  Copyright terms: Public domain W3C validator