Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem5 8592
 Description: Lemma for ordtype 8602. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem5 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem5
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
2 ordtypelem.2 . . . . 5 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
3 ordtypelem.3 . . . . 5 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
4 ordtypelem.5 . . . . 5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
5 ordtypelem.6 . . . . 5 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
6 ordtypelem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 We 𝐴)
7 ordtypelem.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 8589 . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑇)
91tfr1a 7659 . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
109simpri 481 . . . . 5 Lim dom 𝐹
11 limord 5945 . . . . 5 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 Ord dom 𝐹
13 ordin 5914 . . . 4 ((Ord 𝑇 ∧ Ord dom 𝐹) → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
148, 12, 13sylancl 697 . . 3 (𝜑 → Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 8591 . . . . 5 (𝜑𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴)
16 fdm 6212 . . . . 5 (𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹))
18 ordeq 5891 . . . 4 (dom 𝑂 = (𝑇 ∩ dom 𝐹) → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (Ord dom 𝑂 ↔ Ord (𝑇 ∩ dom 𝐹)))
2014, 19mpbird 247 . 2 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
2117feq2d 6192 . . 3 (𝜑 → (𝑂:dom 𝑂𝐴𝑂:(𝑇 ∩ dom 𝐹)⟶𝐴))
2215, 21mpbird 247 . 2 (𝜑𝑂:dom 𝑂𝐴)
2320, 22jca 555 1 (𝜑 → (Ord dom 𝑂𝑂:dom 𝑂𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   Se wse 5223   We wwe 5224  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269  Ord word 5883  Oncon0 5884  Lim wlim 5885  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ℩crio 6773  recscrecs 7636  OrdIsocoi 8579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-oi 8580 This theorem is referenced by:  oicl  8599  oif  8600
 Copyright terms: Public domain W3C validator