Theorem ordtr3OLD 5883

Description: Obsolete proof of ordtr3 5882 as of 24-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr3OLD	⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtr3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → Ord 𝐶)
2		ordelord 5858	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	2	adantlr 753	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
4		ordtri1 5869	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐴) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
5	1, 3, 4	syl2an2r 911	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
6		ordtr2 5881	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵))
7	6	ancoms 468	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵))
8	7	expcomd 453	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)))
9	8	imp 444	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
10	5, 9	sylbird 250	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐵))
11	10	orrd 392	. 2 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵))
12	11	ex 449	1 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680  Ord word 5835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-tr 4861  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-ord 5839

This theorem is referenced by: (None)