Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtopconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtopconn 32769
Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtopconn (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem ordtopconn
StepHypRef Expression
1 ordtop 32766 . . 3 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))
2 onsucconn 32768 . . . 4 ( 𝐽 ∈ On → suc 𝐽 ∈ Conn)
32ordtoplem 32765 . . 3 (Ord 𝐽 → (𝐽 𝐽𝐽 ∈ Conn))
41, 3sylbid 230 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Conn))
5 conntop 21440 . 2 (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
64, 5impbid1 215 1 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2144  wne 2942   cuni 4572  Ord word 5865  Topctop 20917  Conncconn 21434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-fv 6039  df-topgen 16311  df-top 20918  df-bases 20970  df-cld 21043  df-conn 21435
This theorem is referenced by:  onintopssconn  32770
  Copyright terms: Public domain W3C validator