Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthmeo 21778
 Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 𝑌 = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeo ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3 𝑋 = dom 𝑅
2 ordthmeo.2 . . 3 𝑌 = dom 𝑆
31, 2ordthmeolem 21777 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4 isocnv 6731 . . 3 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
52, 1ordthmeolem 21777 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑅𝑉𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
653com12 1117 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
74, 6syl3an3 1498 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8 ishmeo 21735 . 2 (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
93, 7, 8sylanbrc 701 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ◡ccnv 5253  dom cdm 5254  ‘cfv 6037   Isom wiso 6038  (class class class)co 6801  ordTopcordt 16332   Cn ccn 21201  Homeochmeo 21729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113  df-fi 8470  df-topgen 16277  df-ordt 16334  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923  df-cn 21204  df-hmeo 21731 This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  22914  iccpnfhmeo  22916  xrhmeo  22917  xrge0iifhmeo  30262
 Copyright terms: Public domain W3C validator