MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 21361
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 21360 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
31ordthauslem 21360 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
4 necom 2973 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
5 3ancoma 1084 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
6 incom 3936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑚) = (𝑚𝑛)
76eqeq1i 2753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ (𝑚𝑛) = ∅)
873anbi3i 1416 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
95, 8bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1092rexbii 3168 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
11 rexcom 3225 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1210, 11bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
134, 12imbi12i 339 . . . . . . 7 ((𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
143, 13syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
15143com23 1120 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
161tsrlin 17391 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
172, 15, 16mpjaod 395 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
18173expb 1113 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
1918ralrimivva 3097 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
201ordttopon 21170 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21 ishaus2 21328 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2319, 22mpbird 247 1 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  wrex 3039  cin 3702  c0 4046   class class class wbr 4792  dom cdm 5254  cfv 6037  ordTopcordt 16332   TosetRel ctsr 17371  TopOnctopon 20888  Hauscha 21285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8470  df-topgen 16277  df-ordt 16334  df-ps 17372  df-tsr 17373  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923  df-haus 21292
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22809  xrhaus  29815  xrge0tsmsd  30065
  Copyright terms: Public domain W3C validator