MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld1 21222
Description: A downward ray (-∞, 𝑃] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3836 . . 3 {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 21218 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 466 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 20939 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6syl5sseq 3802 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 4052 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃}
96difeq1d 3878 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
108, 9syl5eqr 2819 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}))
112ordtopn1 21219 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝑃} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2851 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 20938 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2771 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 21052 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 692 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝑃} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  cdif 3720  wss 3723   cuni 4574   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  ordTopcordt 16367  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  Clsdccld 21041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cld 21044
This theorem is referenced by:  ordtcld3  21224
  Copyright terms: Public domain W3C validator