MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucsssuc 7190
Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsucsssuc ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucsssuc
StepHypRef Expression
1 ordsucelsuc 7189 . . . 4 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
21notbid 307 . . 3 (Ord 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
32adantr 472 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4 ordtri1 5918 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
5 ordsuc 7181 . . 3 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
6 ordsuc 7181 . . 3 (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
7 ordtri1 5918 . . 3 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord suc 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
85, 6, 7syl2anb 497 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵 ↔ ¬ suc 𝐵 ∈ suc 𝐴))
93, 4, 83bitr4d 300 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2140  wss 3716  Ord word 5884  suc csuc 5887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-tr 4906  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-ord 5888  df-on 5889  df-suc 5891
This theorem is referenced by:  oawordri  7802  oeworde  7845  nnawordi  7873  bndrank  8880  rankmapu  8917  ackbij1b  9274  nosupbday  32179  onsuct0  32768  finxpsuclem  33564
  Copyright terms: Public domain W3C validator