MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucss 6980
Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordsucss (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))

Proof of Theorem ordsucss
StepHypRef Expression
1 ordelord 5714 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
2 ordnbtwn 5785 . . . . . . . 8 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
3 imnan 438 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
42, 3sylibr 224 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
54adantr 481 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6 ordsuc 6976 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7 ordtri1 5725 . . . . . . 7 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
86, 7sylanb 489 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
95, 8sylibrd 249 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
101, 9sylan 488 . . . 4 (((Ord 𝐵𝐴𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1110exp31 629 . . 3 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))))
1211pm2.43b 55 . 2 (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵)))
1312pm2.43b 55 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wss 3560  Ord word 5691  suc csuc 5694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698
This theorem is referenced by:  ordelsuc  6982  ordsucelsuc  6984  orduniorsuc  6992  tfindsg2  7023  oaordi  7586  oawordeulem  7594  omeulem2  7623  oeworde  7633  oelimcl  7640  oeeui  7642  nnaordi  7658  nnawordex  7677  oaabs2  7685  omxpenlem  8021  inf3lem5  8489  cantnflt  8529  cantnflem1d  8545  cnfcom  8557  r1ordg  8601  rankr1ag  8625  cfslb2n  9050  cfsmolem  9052  fin23lem26  9107  isf32lem3  9137  ttukeylem7  9297  indpi  9689  nosires  31630
  Copyright terms: Public domain W3C validator