Theorem ordsucss 7171

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 5894	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2		ordnbtwn 5965	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3		imnan 437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4	2, 3	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
5	4	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6		ordsuc 7167	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7		ordtri1 5905	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	6, 7	sylanb 490	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	5, 8	sylibrd 249	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	1, 9	sylan 489	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	exp31 631	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))))
12	11	pm2.43b 55	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)))
13	12	pm2.43b 55	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703  Ord word 5871  suc csuc 5874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043  ax-un 7102

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-tr 4893  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-ord 5875  df-on 5876  df-suc 5878

This theorem is referenced by:  ordelsuc  7173  ordsucelsuc  7175  orduniorsuc  7183  tfindsg2  7214  oaordi  7783  oawordeulem  7791  omeulem2  7820  oeworde  7830  oelimcl  7837  oeeui  7839  nnaordi  7855  nnawordex  7874  oaabs2  7882  omxpenlem  8214  inf3lem5  8690  cantnflt  8730  cantnflem1d  8746  cnfcom  8758  r1ordg  8802  rankr1ag  8826  cfslb2n  9253  cfsmolem  9255  fin23lem26  9310  isf32lem3  9340  ttukeylem7  9500  indpi  9892  nolesgn2ores  32102  nosupres  32130  nosupbnd1lem1  32131  nosupbnd2  32139