MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucss 7171
Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordsucss (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))

Proof of Theorem ordsucss
StepHypRef Expression
1 ordelord 5894 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
2 ordnbtwn 5965 . . . . . . . 8 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
3 imnan 437 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
42, 3sylibr 224 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
54adantr 472 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6 ordsuc 7167 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7 ordtri1 5905 . . . . . . 7 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
86, 7sylanb 490 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
95, 8sylibrd 249 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
101, 9sylan 489 . . . 4 (((Ord 𝐵𝐴𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1110exp31 631 . . 3 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))))
1211pm2.43b 55 . 2 (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵)))
1312pm2.43b 55 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2127  wss 3703  Ord word 5871  suc csuc 5874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-tr 4893  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-ord 5875  df-on 5876  df-suc 5878
This theorem is referenced by:  ordelsuc  7173  ordsucelsuc  7175  orduniorsuc  7183  tfindsg2  7214  oaordi  7783  oawordeulem  7791  omeulem2  7820  oeworde  7830  oelimcl  7837  oeeui  7839  nnaordi  7855  nnawordex  7874  oaabs2  7882  omxpenlem  8214  inf3lem5  8690  cantnflt  8730  cantnflem1d  8746  cnfcom  8758  r1ordg  8802  rankr1ag  8826  cfslb2n  9253  cfsmolem  9255  fin23lem26  9310  isf32lem3  9340  ttukeylem7  9500  indpi  9892  nolesgn2ores  32102  nosupres  32130  nosupbnd1lem1  32131  nosupbnd2  32139
  Copyright terms: Public domain W3C validator