MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucelsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucelsuc 7064
Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordsucelsuc (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐵)
2 ordelord 5783 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
31, 2jca 553 . 2 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4 simpl 472 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5 ordsuc 7056 . . . 4 (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6 ordelord 5783 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7 ordsuc 7056 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
86, 7sylibr 224 . . . 4 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
95, 8sylanb 488 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
104, 9jca 553 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11 ordsseleq 5790 . . . . . . . 8 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
127, 11sylanb 488 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1312ancoms 468 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15 ordsucss 7060 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1615ad2antrl 764 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
17 sucssel 5857 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1916, 18impbid 202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
20 sucexb 7051 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21 elsucg 5830 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2220, 21sylbi 207 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2414, 19, 233bitr4d 300 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
2524ex 449 . . 3 (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26 elex 3243 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
27 elex 3243 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
2827, 20sylibr 224 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵𝐴 ∈ V)
2926, 28pm5.21ni 366 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3029a1d 25 . . 3 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
3125, 30pm2.61i 176 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
323, 10, 31pm5.21nd 961 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  Ord word 5760  suc csuc 5763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767
This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  7065  oalimcl  7685  omlimcl  7703  pssnn  8219  cantnflt  8607  cantnfp1lem3  8615  r1pw  8746  r1pwALT  8747  rankelpr  8774  rankelop  8775  rankxplim3  8782  infpssrlem4  9166  axdc3lem2  9311  axdc3lem4  9313  grur1a  9679  bnj570  31101  bnj1001  31154  nosupno  31974
  Copyright terms: Public domain W3C validator