MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7056
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 5769 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2 suceloni 7055 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3 eloni 5771 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
51, 4syl6bir 244 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴))
6 sucidg 5841 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 ordelord 5783 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
87ex 449 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
96, 8syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
105, 9impbid 202 . 2 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
11 sucprc 5838 . . . 4 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1211eqcomd 2657 . . 3 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
13 ordeq 5768 . . 3 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1412, 13syl 17 . 2 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1510, 14pm2.61i 176 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  Ord word 5760  Oncon0 5761  suc csuc 5763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7057  sucelon  7059  ordsucss  7060  onpsssuc  7061  ordsucelsuc  7064  ordsucsssuc  7065  ordsucuniel  7066  ordsucun  7067  onsucuni2  7076  0elsuc  7077  nlimsucg  7084  limsssuc  7092  php4  8188  cantnflt  8607  fin23lem26  9185  hsmexlem1  9286  nosupres  31978  noetalem3  31990  onsuct0  32565
  Copyright terms: Public domain W3C validator