MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7182
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 5885 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2 suceloni 7181 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3 eloni 5887 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
51, 4syl6bir 245 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴))
6 sucidg 5957 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 ordelord 5899 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
87ex 398 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
96, 8syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
105, 9impbid 203 . 2 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
11 sucprc 5954 . . . 4 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1211eqcomd 2780 . . 3 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
13 ordeq 5884 . . 3 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1412, 13syl 17 . 2 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1510, 14pm2.61i 176 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 197   = wceq 1634  wcel 2148  Vcvv 3355  Ord word 5876  Oncon0 5877  suc csuc 5879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pr 5048  ax-un 7117
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-br 4798  df-opab 4860  df-tr 4900  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-ord 5880  df-on 5881  df-suc 5883
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7183  sucelon  7185  ordsucss  7186  onpsssuc  7187  ordsucelsuc  7190  ordsucsssuc  7191  ordsucuniel  7192  ordsucun  7193  onsucuni2  7202  0elsuc  7203  nlimsucg  7210  limsssuc  7218  php4  8324  cantnflt  8754  fin23lem26  9370  hsmexlem1  9471  nosupres  32207  noetalem3  32219  onsuct0  32794
  Copyright terms: Public domain W3C validator