MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 5785
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 5783 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 5769 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 481 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 247 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030  Ord word 5760  Oncon0 5761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765
This theorem is referenced by:  onelon  5786  ordunidif  5811  ordpwsuc  7057  ordsucun  7067  ordunel  7069  ordunisuc2  7086  oesuclem  7650  odi  7704  oelim2  7720  oeoalem  7721  oeoelem  7723  limenpsi  8176  ordtypelem9  8472  oismo  8486  cantnflt  8607  cantnfp1lem3  8615  cantnflem1b  8621  cantnflem1  8624  rankr1bg  8704  rankr1clem  8721  rankr1c  8722  rankonidlem  8729  infxpenlem  8874  coflim  9121  fin23lem26  9185  fpwwe2lem8  9497  onsuct0  32565  iunord  42747
  Copyright terms: Public domain W3C validator