MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord0eln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ord0eln0 5940
Description: A nonempty ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
ord0eln0 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0
StepHypRef Expression
1 ne0i 4064 . 2 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
2 ord0 5938 . . . 4 Ord ∅
3 noel 4062 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 ordtri2 5919 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
54con2bid 343 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
63, 5mpbiri 248 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
72, 6mpan2 709 . . 3 (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8 neor 3023 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
97, 8sylib 208 . 2 (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
101, 9impbid2 216 1 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  Ord word 5883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887
This theorem is referenced by:  on0eln0  5941  dflim2  5942  0ellim  5948  0elsuc  7201  ordge1n0  7749  omwordi  7822  omass  7831  nnmord  7883  nnmwordi  7886  wemapwe  8769  elni2  9911  bnj529  31139
  Copyright terms: Public domain W3C validator