MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbstafun 17790
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 17792. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
Assertion
Ref Expression
orbstafun (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑢,𝑘,   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
2 ovexd 6720 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘 𝐴) ∈ V)
3 gasta.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
53, 4gastacl 17788 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 orbsta.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝐻)
73, 6eqger 17691 . . 3 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
85, 7syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Er 𝑋)
9 fvex 6239 . . . 4 (Base‘𝐺) ∈ V
103, 9eqeltri 2726 . . 3 𝑋 ∈ V
1110a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑋 ∈ V)
12 oveq1 6697 . 2 (𝑘 = → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
13 simpr 476 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘 )
14 subgrcl 17646 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
153subgss 17642 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
16 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (invg𝐺) = (invg𝐺)
17 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
183, 16, 17, 6eqgval 17690 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
1914, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
205, 19syl 17 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
2120biimpa 500 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻))
2221simp1d 1093 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘𝑋)
2321simp2d 1094 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑋)
2422, 23jca 553 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋))
253, 4, 6gastacos 17789 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑘𝑋𝑋)) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2624, 25syldan 486 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2713, 26mpbid 222 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
281, 2, 8, 11, 12, 27qliftfund 7876 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  Fun wfun 5920  cfv 5926  (class class class)co 6690   Er wer 7784  [cec 7785  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  SubGrpcsubg 17635   ~QG cqg 17637   GrpAct cga 17768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-eqg 17640  df-ga 17769
This theorem is referenced by:  orbstaval  17791  orbsta  17792
  Copyright terms: Public domain W3C validator