Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbsta2 17947
 Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
orbsta2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta2.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta2.o 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
orbsta2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑔,𝑥,𝑦,   𝐴,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑌,𝑥,𝑦   ,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑔,𝑋,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢,𝑔)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 orbsta2.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝐻)
3 orbsta2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
41, 3gastacl 17942 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 472 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simpr 479 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
71, 2, 5, 6lagsubg2 17856 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝐻)))
8 eqid 2760 . . . . . . 7 ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩) = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
9 orbsta2.o . . . . . . 7 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
101, 3, 2, 8, 9orbsta 17946 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
1110adantr 472 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
12 fvex 6362 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
131, 12eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
1413qsex 7973 . . . . . 6 (𝑋 / ) ∈ V
1514f1oen 8142 . . . . 5 (ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂 → (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂)
1611, 15syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂)
17 pwfi 8426 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
186, 17sylib 208 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
191, 2eqger 17845 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
205, 19syl 17 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → Er 𝑋)
2120qsss 7975 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
22 ssfi 8345 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / ) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 696 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ∈ Fin)
2416ensymd 8172 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → [𝐴]𝑂 ≈ (𝑋 / ))
25 enfii 8342 . . . . . 6 (((𝑋 / ) ∈ Fin ∧ [𝐴]𝑂 ≈ (𝑋 / )) → [𝐴]𝑂 ∈ Fin)
2623, 24, 25syl2anc 696 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → [𝐴]𝑂 ∈ Fin)
27 hashen 13329 . . . . 5 (((𝑋 / ) ∈ Fin ∧ [𝐴]𝑂 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / )) = (♯‘[𝐴]𝑂) ↔ (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂))
2823, 26, 27syl2anc 696 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / )) = (♯‘[𝐴]𝑂) ↔ (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂))
2916, 28mpbird 247 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / )) = (♯‘[𝐴]𝑂))
3029oveq1d 6828 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
317, 30eqtrd 2794 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  {cpr 4323  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  {copab 4864   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   Er wer 7908  [cec 7909   / cqs 7910   ≈ cen 8118  Fincfn 8121   · cmul 10133  ♯chash 13311  Basecbs 16059  SubGrpcsubg 17789   ~QG cqg 17791   GrpAct cga 17922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923 This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18217  sylow2alem2  18233  sylow3lem3  18244
 Copyright terms: Public domain W3C validator