HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsqrlem1 29329
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem1.2 (normop𝑇) ∈ ℝ
opsqrlem1.3 0hopop 𝑇
opsqrlem1.4 𝑅 = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)
opsqrlem1.5 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅))
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
Distinct variable group:   𝑣,𝑢,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmopf 29063 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 nmopge0 29100 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop𝑇))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 0 ≤ (normop𝑇)
6 opsqrlem1.2 . . . . . . 7 (normop𝑇) ∈ ℝ
76sqrtcli 14330 . . . . . 6 (0 ≤ (normop𝑇) → (√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . 5 (√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ
9 hmopm 29210 . . . . 5 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
108, 9mpan 708 . . . 4 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
1110ad2antlr 765 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp)
126sqrtge0i 14335 . . . . . . 7 (0 ≤ (normop𝑇) → 0 ≤ (√‘(normop𝑇)))
135, 12ax-mp 5 . . . . . 6 0 ≤ (√‘(normop𝑇))
14 leopmuli 29322 . . . . . 6 ((((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (√‘(normop𝑇)) ∧ 0hopop 𝑢)) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
1513, 14mpanr1 721 . . . . 5 ((((√‘(normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ HrmOp) ∧ 0hopop 𝑢) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
168, 15mpanl1 718 . . . 4 ((𝑢 ∈ HrmOp ∧ 0hopop 𝑢) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
1716ad2ant2lr 801 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))
18 hmopf 29063 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢: ℋ⟶ ℋ)
198recni 10264 . . . . . . . . . 10 (√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ
20 homulcl 28948 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
2119, 20mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝑢: ℋ⟶ ℋ → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
2218, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ)
23 homco1 28990 . . . . . . . . 9 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
2419, 23mp3an1 1560 . . . . . . . 8 ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
2518, 22, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))))
26 hmoplin 29131 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ HrmOp → 𝑢 ∈ LinOp)
27 homco2 29166 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2819, 27mp3an1 1560 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ LinOp ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
2926, 18, 28syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢)))
3029oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢 ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢))) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
316sqrtthi 14329 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (normop𝑇) → ((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) = (normop𝑇))
325, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) = (normop𝑇)
3332oveq1i 6824 . . . . . . . 8 (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢))
34 fco 6219 . . . . . . . . . 10 ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ)
3518, 18, 34syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ HrmOp → (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ)
36 homulass 28991 . . . . . . . . . 10 (((√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (√‘(normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ) → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3719, 19, 36mp3an12 1563 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑢): ℋ⟶ ℋ → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) · (√‘(normop𝑇))) ·op (𝑢𝑢)) = ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))))
3933, 38syl5reqr 2809 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ HrmOp → ((√‘(normop𝑇)) ·op ((√‘(normop𝑇)) ·op (𝑢𝑢))) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
4025, 30, 393eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝑢 ∈ HrmOp → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
4140ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)))
42 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → (𝑢𝑢) = 𝑅)
43 opsqrlem1.4 . . . . . . . . 9 𝑅 = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)
4442, 43syl6eq 2810 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → (𝑢𝑢) = ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇))
4544oveq2d 6830 . . . . . . 7 ((𝑢𝑢) = 𝑅 → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
46 hmoplin 29131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
471, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinOp
48 nmlnopne0 29188 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ LinOp → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop )
506recni 10264 . . . . . . . . . . 11 (normop𝑇) ∈ ℂ
5150recidzi 10964 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ≠ 0 → ((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) = 1)
5249, 51sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑇 ≠ 0hop → ((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) = 1)
5352oveq1d 6829 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
546rerecclzi 11001 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
5549, 54sylbir 225 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
5655recnd 10280 . . . . . . . . 9 (𝑇 ≠ 0hop → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
57 homulass 28991 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
5850, 3, 57mp3an13 1564 . . . . . . . . 9 ((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
5956, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (((normop𝑇) · (1 / (normop𝑇))) ·op 𝑇) = ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)))
60 homulid2 28989 . . . . . . . . 9 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
613, 60mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0hop → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
6253, 59, 613eqtr3d 2802 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ 0hop → ((normop𝑇) ·op ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇)) = 𝑇)
6345, 62sylan9eqr 2816 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ 0hop ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = 𝑇)
6463adantlr 753 . . . . 5 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → ((normop𝑇) ·op (𝑢𝑢)) = 𝑇)
6541, 64eqtrd 2794 . . . 4 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
6665adantrl 754 . . 3 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)
67 breq2 4808 . . . . 5 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → ( 0hopop 𝑣 ↔ 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
68 coeq1 5435 . . . . . . 7 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣))
69 coeq2 5436 . . . . . . 7 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ 𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
7068, 69eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (𝑣𝑣) = (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)))
7170eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → ((𝑣𝑣) = 𝑇 ↔ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇))
7267, 71anbi12d 749 . . . 4 (𝑣 = ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) → (( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇) ↔ ( 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)))
7372rspcev 3449 . . 3 ((((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∈ HrmOp ∧ ( 0hopop ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∧ (((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢) ∘ ((√‘(normop𝑇)) ·op 𝑢)) = 𝑇)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
7411, 17, 66, 73syl12anc 1475 . 2 (((𝑇 ≠ 0hop𝑢 ∈ HrmOp) ∧ ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅)) → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
75 opsqrlem1.5 . 2 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑢 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑢 ∧ (𝑢𝑢) = 𝑅))
7674, 75r19.29a 3216 1 (𝑇 ≠ 0hop → ∃𝑣 ∈ HrmOp ( 0hopop 𝑣 ∧ (𝑣𝑣) = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  cle 10287   / cdiv 10896  csqrt 14192  chil 28106   ·op chot 28126   0hop ch0o 28130  normopcnop 28132  LinOpclo 28134  HrmOpcho 28137  op cleo 28145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvmulass 28194  ax-hvdistr1 28195  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his2 28270  ax-his3 28271  ax-his4 28272  ax-hcompl 28389
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-lm 21255  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cfil 23273  df-cau 23274  df-cmet 23275  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ginv 27679  df-gdiv 27680  df-ablo 27729  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-0v 27783  df-vs 27784  df-nmcv 27785  df-ims 27786  df-dip 27886  df-ssp 27907  df-lno 27929  df-nmoo 27930  df-0o 27932  df-ph 27998  df-cbn 28049  df-hnorm 28155  df-hba 28156  df-hvsub 28158  df-hlim 28159  df-hcau 28160  df-sh 28394  df-ch 28408  df-oc 28439  df-ch0 28440  df-shs 28497  df-pjh 28584  df-hosum 28919  df-homul 28920  df-hodif 28921  df-h0op 28937  df-nmop 29028  df-lnop 29030  df-hmop 29033  df-leop 29041
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator