MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprpiece1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprpiece1res2 22973
Description: Restriction to the second part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oprpiece1.1 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3 𝐴𝐵
oprpiece1.4 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.9 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
oprpiece1.10 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
oprpiece1.11 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
oprpiece1.12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
oprpiece1res2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res2
StepHypRef Expression
1 oprpiece1.6 . . . 4 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
2 oprpiece1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32rexri 10310 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ*
4 oprpiece1.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
54rexri 10310 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ*
6 oprpiece1.3 . . . . 5 𝐴𝐵
7 ubicc2 12503 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83, 5, 6, 7mp3an 1573 . . . 4 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9 iccss2 12458 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
101, 8, 9mp2an 710 . . 3 (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11 ssid 3766 . . 3 𝐶𝐶
12 resmpt2 6925 . . 3 (((𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)))
1310, 11, 12mp2an 710 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
14 oprpiece1.7 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
1514reseq1i 5548 . 2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶))
16 oprpiece1.12 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
17 oprpiece1.11 . . . . . . 7 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
1817ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑃 = 𝑄)
19 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
202, 4elicc2i 12453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐾𝐾𝐵))
2120simp1bi 1140 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ ℝ
2322, 4elicc2i 12453 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾𝑥𝑥𝐵))
2423simp2bi 1141 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝐾𝑥)
2524ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾𝑥)
2623simp1bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 letri3 10336 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
2927, 22, 28sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
3019, 25, 29mpbir2and 995 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 = 𝐾)
31 oprpiece1.9 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑃)
33 oprpiece1.10 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑄)
3518, 32, 343eqtr4d 2805 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑆)
36 eqidd 2762 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ ¬ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑆)
3735, 36ifeqda 4266 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
3837mpt2eq3ia 6887 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
3916, 38eqtr4i 2786 . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
4013, 15, 393eqtr4i 2793 1 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  wss 3716  ifcif 4231   class class class wbr 4805   × cxp 5265  cres 5269  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  cr 10148  *cxr 10286  cle 10288  [,]cicc 12392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-icc 12396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator