Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | reloprab 6867 |
. . 3
⊢ Rel
{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} |
2 | | brrelex12 5312 |
. . 3
⊢ ((Rel
{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} ∧ 〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍) → (〈𝑋, 𝑌〉 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)) |
3 | 1, 2 | mpan 708 |
. 2
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍 → (〈𝑋, 𝑌〉 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)) |
4 | | df-br 4805 |
. . . . 5
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍 ↔ 〈〈𝑋, 𝑌〉, 𝑍〉 ∈ {〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}) |
5 | | opex 5081 |
. . . . . . . . 9
⊢
〈𝑋, 𝑌〉 ∈ V |
6 | | nfcv 2902 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑤〈𝑋, 𝑌〉 |
7 | 6 | nfeq1 2916 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑤〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 |
8 | | nfv 1992 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑤𝜑 |
9 | 7, 8 | nfan 1977 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑤(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) |
10 | 9 | nfex 2301 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑤∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) |
11 | 10 | nfex 2301 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑤∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) |
12 | | nfcv 2902 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑧〈𝑋, 𝑌〉 |
13 | 12 | nfeq1 2916 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑧〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 |
14 | | nfsbc1v 3596 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑧[𝑍 / 𝑧]𝜑 |
15 | 13, 14 | nfan 1977 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑧(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) |
16 | 15 | nfex 2301 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) |
17 | 16 | nfex 2301 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑧∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) |
18 | | eqeq1 2764 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 = 〈𝑋, 𝑌〉 → (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
19 | 18 | anbi1d 743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 = 〈𝑋, 𝑌〉 → ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) ↔ (〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
20 | 19 | 2exbidv 2001 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 = 〈𝑋, 𝑌〉 → (∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
21 | | sbceq1a 3587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝜑 ↔ [𝑍 / 𝑧]𝜑)) |
22 | 21 | anbi2d 742 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) ↔ (〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑))) |
23 | 22 | 2exbidv 2001 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑))) |
24 | 11, 17, 20, 23 | opelopabgf 5145 |
. . . . . . . . 9
⊢
((〈𝑋, 𝑌〉 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) →
(〈〈𝑋, 𝑌〉, 𝑍〉 ∈ {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} ↔ ∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑))) |
25 | 5, 24 | mpan 708 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑍 ∈ V →
(〈〈𝑋, 𝑌〉, 𝑍〉 ∈ {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} ↔ ∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑))) |
26 | | eqcom 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑋, 𝑌〉) |
27 | | vex 3343 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑥 ∈ V |
28 | | vex 3343 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑦 ∈ V |
29 | 27, 28 | opth 5093 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) |
30 | 26, 29 | bitri 264 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) |
31 | | eqvisset 3351 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V) |
32 | | eqvisset 3351 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑌 → 𝑌 ∈ V) |
33 | 31, 32 | anim12i 591 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) |
34 | 30, 33 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) |
35 | 34 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) |
36 | 35 | exlimivv 2009 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) |
37 | 36 | anim1i 593 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) |
38 | | df-3an 1074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) |
39 | 37, 38 | sylibr 224 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)) |
40 | 39 | expcom 450 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑍 ∈ V → (∃𝑥∃𝑦(〈𝑋, 𝑌〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ [𝑍 / 𝑧]𝜑) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
41 | 25, 40 | sylbid 230 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑍 ∈ V →
(〈〈𝑋, 𝑌〉, 𝑍〉 ∈ {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
42 | 41 | com12 32 |
. . . . . 6
⊢
(〈〈𝑋,
𝑌〉, 𝑍〉 ∈ {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} → (𝑍 ∈ V → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
43 | | dfoprab2 6866 |
. . . . . 6
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} |
44 | 42, 43 | eleq2s 2857 |
. . . . 5
⊢
(〈〈𝑋,
𝑌〉, 𝑍〉 ∈ {〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} → (𝑍 ∈ V → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
45 | 4, 44 | sylbi 207 |
. . . 4
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍 → (𝑍 ∈ V → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
46 | 45 | com12 32 |
. . 3
⊢ (𝑍 ∈ V → (〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
47 | 46 | adantl 473 |
. 2
⊢
((〈𝑋, 𝑌〉 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))) |
48 | 3, 47 | mpcom 38 |
1
⊢
(〈𝑋, 𝑌〉{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑}𝑍 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)) |