MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opptgdim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opptgdim2 25858
Description: If two points opposite to a line exist, dimension must be 2 or more. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a (𝜑𝐴𝑃)
oppcom.b (𝜑𝐵𝑃)
oppcom.o (𝜑𝐴𝑂𝐵)
Assertion
Ref Expression
opptgdim2 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opptgdim2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 opphl.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 hpg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 709 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simpllr 760 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑃)
7 simplr 752 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝑃)
8 oppcom.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
98ad3antrrr 709 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐴𝑃)
10 hpg.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
11 hpg.o . . . . . . . 8 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12 opphl.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 oppcom.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
14 oppcom.o . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑂𝐵)
151, 10, 3, 11, 2, 12, 4, 8, 13, 14oppne1 25854 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
1615ad3antrrr 709 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ 𝐴𝐷)
17 simprl 754 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑦))
1816, 17neleqtrd 2871 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
19 simprr 756 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
2019neneqd 2948 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
2118, 20jca 501 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
22 ioran 968 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
2321, 22sylibr 224 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
241, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 23ncoltgdim2 25681 . 2 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
251, 3, 2, 4, 12tgisline 25743 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
2624, 25r19.29vva 3229 1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3720   class class class wbr 4787  {copab 4847  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  2c2 11276  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  DimTarskiGcstrkgld 25554  Itvcitv 25556  LineGclng 25557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-trkgc 25568  df-trkgcb 25570  df-trkgld 25572  df-trkg 25573
This theorem is referenced by:  opphllem5  25864  opphl  25867
  Copyright terms: Public domain W3C validator