MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubg 18844
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubg (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 18837 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
51, 4oppradd 18838 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑂)
63, 5grpprop 17646 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7 biid 251 . . . 4 (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8 vex 3354 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
9 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑅s 𝑥) = (𝑅s 𝑥)
109, 2ressbas 16137 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥)))
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥))
12 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑂s 𝑥) = (𝑂s 𝑥)
1312, 3ressbas 16137 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥)))
148, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
1511, 14eqtr3i 2795 . . . . 5 (Base‘(𝑅s 𝑥)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
169, 4ressplusg 16201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑅s 𝑥)))
1712, 5ressplusg 16201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1816, 17eqtr3d 2807 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
198, 18ax-mp 5 . . . . 5 (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥))
2015, 19grpprop 17646 . . . 4 ((𝑅s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp)
216, 7, 203anbi123i 1158 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
222issubg 17802 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp))
233issubg 17802 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
2421, 22, 233bitr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2524eqriv 2768 1 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  opprcoppr 18830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-subg 17799  df-oppr 18831
This theorem is referenced by:  opprsubrg  19011
  Copyright terms: Public domain W3C validator