Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprring 18831
 Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprring (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 18829 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
61, 5oppradd 18830 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑂)
76a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑂))
8 eqidd 2761 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑂) = (.r𝑂))
9 ringgrp 18752 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
103, 6grpprop 17639 . . 3 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
119, 10sylib 208 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Grp)
12 eqid 2760 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
13 eqid 2760 . . . 4 (.r𝑂) = (.r𝑂)
142, 12, 1, 13opprmul 18826 . . 3 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
152, 12ringcl 18761 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16153com23 1121 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1714, 16syl5eqel 2843 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18 simpl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
19 simpr3 1238 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr2 1236 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 simpr1 1234 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
222, 12ringass 18764 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2423eqcomd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥))
2514oveq1i 6823 . . . 4 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧)
262, 12, 1, 13opprmul 18826 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
2725, 26eqtri 2782 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
282, 12, 1, 13opprmul 18826 . . . . 5 (𝑦(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
2928oveq2i 6824 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
302, 12, 1, 13opprmul 18826 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3129, 30eqtri 2782 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3224, 27, 313eqtr4g 2819 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
332, 5, 12ringdir 18767 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
3418, 20, 19, 21, 33syl13anc 1479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
352, 12, 1, 13opprmul 18826 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥)
362, 12, 1, 13opprmul 18826 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥)
3714, 36oveq12i 6825 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥))
3834, 35, 373eqtr4g 2819 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)))
392, 5, 12ringdi 18766 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4018, 19, 21, 20, 39syl13anc 1479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
412, 12, 1, 13opprmul 18826 . . 3 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))
4236, 28oveq12i 6825 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
4340, 41, 423eqtr4g 2819 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
44 eqid 2760 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
452, 44ringidcl 18768 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
462, 12, 1, 13opprmul 18826 . . 3 ((1r𝑅)(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅))
472, 12, 44ringridm 18772 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑥)
4846, 47syl5eq 2806 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑂)𝑥) = 𝑥)
492, 12, 1, 13opprmul 18826 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(1r𝑅)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥)
502, 12, 44ringlidm 18771 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
5149, 50syl5eq 2806 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)(1r𝑅)) = 𝑥)
524, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43, 45, 48, 51isringd 18785 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  Grpcgrp 17623  1rcur 18701  Ringcrg 18747  opprcoppr 18822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823 This theorem is referenced by:  opprringb  18832  mulgass3  18837  1unit  18858  unitmulcl  18864  unitnegcl  18881  irredlmul  18908  isdrngrd  18975  issrngd  19063  2idlcpbl  19436  opprnzr  19467  ply1divalg2  24097  lduallmodlem  34942
 Copyright terms: Public domain W3C validator