MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmulfval 18846
Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2 · = (.r𝑅)
opprval.3 𝑂 = (oppr𝑅)
opprmulfval.4 = (.r𝑂)
Assertion
Ref Expression
opprmulfval = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2 = (.r𝑂)
2 opprval.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
3 fvex 6364 . . . . . . 7 (.r𝑅) ∈ V
42, 3eqeltri 2836 . . . . . 6 · ∈ V
54tposex 7557 . . . . 5 tpos · ∈ V
6 mulrid 16220 . . . . . 6 .r = Slot (.r‘ndx)
76setsid 16137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
85, 7mpan2 709 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
9 opprval.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 opprval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
119, 2, 10opprval 18845 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
1211fveq2i 6357 . . . 4 (.r𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
138, 12syl6reqr 2814 . . 3 (𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
14 tpos0 7553 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
156str0 16134 . . . . 5 ∅ = (.r‘∅)
1614, 15eqtr2i 2784 . . . 4 (.r‘∅) = tpos ∅
17 fvprc 6348 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (oppr𝑅) = ∅)
1810, 17syl5eq 2807 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1918fveq2d 6358 . . . 4 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = (.r‘∅))
20 fvprc 6348 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (.r𝑅) = ∅)
212, 20syl5eq 2807 . . . . 5 𝑅 ∈ V → · = ∅)
2221tposeqd 7526 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
2316, 19, 223eqtr4a 2821 . . 3 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
2413, 23pm2.61i 176 . 2 (.r𝑂) = tpos ·
251, 24eqtri 2783 1 = tpos ·
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  c0 4059  cop 4328  cfv 6050  (class class class)co 6815  tpos ctpos 7522  ndxcnx 16077   sSet csts 16078  Basecbs 16080  .rcmulr 16165  opprcoppr 18843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-sets 16087  df-mulr 16178  df-oppr 18844
This theorem is referenced by:  opprmul  18847
  Copyright terms: Public domain W3C validator