Theorem opprmulfval 18846

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		fvex 6364	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2836	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
5	4	tposex 7557	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
6		mulrid 16220	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
7	6	setsid 16137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8	5, 7	mpan2 709	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
9		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
11	9, 2, 10	opprval 18845	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
12	11	fveq2i 6357	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
13	8, 12	syl6reqr 2814	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
14		tpos0 7553	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
15	6	str0 16134	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
16	14, 15	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
17		fvprc 6348	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
18	10, 17	syl5eq 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
19	18	fveq2d 6358	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
20		fvprc 6348	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
21	2, 20	syl5eq 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
22	21	tposeqd 7526	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
23	16, 19, 22	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
24	13, 23	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
25	1, 24	eqtri 2783	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341  ∅c0 4059  ⟨cop 4328  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  tpos ctpos 7522  ndxcnx 16077   sSet csts 16078  Basecbs 16080  ._rcmulr 16165  opp_rcoppr 18843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-sets 16087  df-mulr 16178  df-oppr 18844

This theorem is referenced by:  opprmul  18847