Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprlem 18836
 Description: Lemma for opprbas 18837 and oppradd 18838. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
opprlem.2 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4 𝑁 < 3
Assertion
Ref Expression
opprlem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)

Proof of Theorem opprlem
StepHypRef Expression
1 opprlem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 opprlem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16090 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
42nnrei 11231 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ
5 opprlem.4 . . . . 5 𝑁 < 3
64, 5ltneii 10352 . . . 4 𝑁 ≠ 3
71, 2ndxarg 16089 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
8 mulrndx 16204 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
97, 8neeq12i 3009 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
106, 9mpbir 221 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
113, 10setsnid 16122 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩))
12 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2771 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
14 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
1512, 13, 14opprval 18832 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩)
1615fveq2i 6335 . 2 (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩))
1711, 16eqtr4i 2796 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  tpos ctpos 7503   < clt 10276  ℕcn 11222  3c3 11273  ndxcnx 16061   sSet csts 16062  Slot cslot 16063  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  opprcoppr 18830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-sets 16071  df-mulr 16163  df-oppr 18831 This theorem is referenced by:  opprbas  18837  oppradd  18838
 Copyright terms: Public domain W3C validator