Theorem opprlem 18836

Description: Lemma for opprbas 18837 and oppradd 18838. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16090	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11231	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 10352	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 16089	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 16204	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3009	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 221	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16122	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 18832	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6335	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2796	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  tpos ctpos 7503   < clt 10276  ℕcn 11222  3c3 11273  ndxcnx 16061   sSet csts 16062  Slot cslot 16063  Basecbs 16064  ._rcmulr 16150  opp_rcoppr 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-sets 16071  df-mulr 16163  df-oppr 18831

This theorem is referenced by:  opprbas  18837  oppradd  18838