Theorem opprdomn 19349

Description: The opposite of a domain is also a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprdomn.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprdomn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Proof of Theorem opprdomn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 19343	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		opprdomn.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprnzr 19313	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ NzRing)
5		eqid 2651	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2651	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2651	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	domneq0 19345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅))))
9	8	3com23 1291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅))))
10		eqid 2651	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
11	5, 6, 2, 10	opprmul 18672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
12	11	eqeq1i 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
13		orcom 401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅)))
14	9, 12, 13	3bitr4g 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
15	14	biimpd 219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
16	15	3expb 1285	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
17	16	ralrimivva 3000	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
18	2, 5	opprbas 18675	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
19	2, 7	oppr0 18679	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
20	18, 10, 19	isdomn 19342	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Domn ↔ (𝑂 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
21	4, 17, 20	sylanbrc 699	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  ._rcmulr 15989  0_gc0g 16147  opp_rcoppr 18668  NzRingcnzr 19305  Domncdomn 19328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-nzr 19306  df-domn 19332

This theorem is referenced by:  fidomndrng  19355