Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem6 25843
 Description: First part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem5.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem6.v (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
opphllem6 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem6
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2760 . . . 4 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6 opphl.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 opphllem5.n . . . 4 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
9 opphl.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
10 opphllem5.m . . . . 5 (𝜑𝑀𝑃)
1110adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑀𝑃)
12 opphllem5.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐴𝑃)
14 opphllem5.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1514adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐶𝑃)
16 opphllem5.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑃)
1716adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑈𝑃)
18 opphl.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
19 opphllem5.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝐷)
201, 4, 3, 6, 18, 19tglnpt 25643 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑃)
21 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
224, 6, 21perpln2 25805 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
231, 3, 4, 6, 12, 20, 22tglnne 25722 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑅)
2423adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐴𝑅)
25 opphllem6.v . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
2625adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
27 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑅 = 𝑆)
2826, 27eqtr4d 2797 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝑁𝑅) = 𝑅)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 8, 20mirinv 25760 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑅) = 𝑅𝑀 = 𝑅))
3029adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → ((𝑁𝑅) = 𝑅𝑀 = 𝑅))
3128, 30mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑀 = 𝑅)
3224, 31neeqtrrd 3006 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐴𝑀)
33 opphllem5.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝐷)
341, 4, 3, 6, 18, 33tglnpt 25643 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑃)
35 opphllem5.q . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
364, 6, 35perpln2 25805 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
371, 3, 4, 6, 14, 34, 36tglnne 25722 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑆)
3837adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐶𝑆)
3931, 27eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑀 = 𝑆)
4038, 39neeqtrrd 3006 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝐶𝑀)
41 simpr 479 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 = 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
426ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4342adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4414ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
4544adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐶𝑃)
4620ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝑃)
4746adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑃)
4818ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
49 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝐷)
501, 4, 3, 42, 48, 49tglnpt 25643 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝑃)
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝑃)
5212ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
5352adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐴𝑃)
5434ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆𝑃)
5554adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑆𝑃)
56 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑆)
571, 3, 4, 6, 14, 34, 37tglinerflx2 25728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5857ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5956, 58eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
6059adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
611, 3, 4, 6, 14, 34, 37tgelrnln 25724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
621, 2, 3, 4, 6, 18, 61, 35perpcom 25807 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
6362ad4antr 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
64 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑡)
6548adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
6619ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝐷)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝐷)
6849adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝐷)
691, 3, 4, 43, 47, 51, 64, 64, 65, 67, 68tglinethru 25730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑡))
7063, 69breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
711, 2, 3, 4, 43, 45, 55, 60, 51, 70perprag 25817 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐶𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
721, 3, 4, 6, 12, 20, 23tglinerflx2 25728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
7372ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
7473adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
751, 3, 4, 6, 12, 20, 23tgelrnln 25724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
761, 2, 3, 4, 6, 18, 75, 21perpcom 25807 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
7776ad4antr 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
7877, 69breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
791, 2, 3, 4, 43, 53, 47, 74, 51, 78perprag 25817 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐴𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
80 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
811, 2, 3, 43, 53, 51, 45, 80tgbtwncom 25582 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
821, 2, 3, 4, 5, 43, 45, 47, 51, 53, 71, 79, 81ragflat2 25797 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
8341, 82pm2.61dane 3019 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑡)
84 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
8583, 84eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
86 opphllem5.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
87 hpg.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
881, 2, 3, 87, 12, 14islnopp 25830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
8986, 88mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9089simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9190adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9285, 91r19.29a 3216 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9331, 92eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
941, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 32, 40, 93mirbtwnhl 25774 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾𝑀)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑀)𝐶))
9531fveq2d 6356 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝐾𝑀) = (𝐾𝑅))
9695breqd 4815 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾𝑀)𝐴𝑈(𝐾𝑅)𝐴))
9739fveq2d 6356 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝐾𝑀) = (𝐾𝑆))
9897breqd 4815 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → ((𝑁𝑈)(𝐾𝑀)𝐶 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
9994, 96, 983bitr3d 298 . 2 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
10018ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1016ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10212ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑃)
10314ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐶𝑃)
10419ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝐷)
10533ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆𝐷)
10610ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑀𝑃)
10786ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
10821ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
10935ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
110 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
111110adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝑆)
112 simpr 479 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
11316ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑃)
11425ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
1151, 2, 3, 87, 4, 100, 101, 9, 8, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 111, 112, 113, 114opphllem3 25840 . . 3 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
11618ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1176adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118117adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11914ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑃)
12012adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐴𝑃)
121120adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑃)
12233adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝐷)
123122adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝐷)
12419adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝐷)
125124adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝐷)
12610ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑀𝑃)
12786ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑂𝐶)
1281, 2, 3, 87, 4, 116, 118, 121, 119, 127oppcom 25835 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑂𝐴)
12935ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
13021adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
131130adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
132110necomd 2987 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑅)
133132adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝑅)
134 simpr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶))
13516ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑃)
1361, 2, 3, 4, 5, 118, 126, 8, 135mircl 25755 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑁𝑈) ∈ 𝑃)
13720adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑃)
138137adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝑃)
13925ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
1401, 2, 3, 4, 5, 118, 126, 8, 138, 139mircom 25757 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑁𝑆) = 𝑅)
1411, 2, 3, 87, 4, 116, 118, 9, 8, 119, 121, 123, 125, 126, 128, 129, 131, 133, 134, 136, 140opphllem3 25840 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → ((𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶 ↔ (𝑁‘(𝑁𝑈))(𝐾𝑅)𝐴))
1421, 2, 3, 4, 5, 118, 126, 8, 135mirmir 25756 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = 𝑈)
143142breq1d 4814 . . . 4 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → ((𝑁‘(𝑁𝑈))(𝐾𝑅)𝐴𝑈(𝐾𝑅)𝐴))
144141, 143bitr2d 269 . . 3 (((𝜑𝑅𝑆) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
145 eqid 2760 . . . . 5 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
1461, 2, 3, 145, 6, 34, 14, 20, 12legtrid 25685 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
147146adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑅𝑆) → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
148115, 144, 147mpjaodan 862 . 2 ((𝜑𝑅𝑆) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
14999, 148pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ∖ cdif 3712   class class class wbr 4804  {copab 4864  ran crn 5267  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  distcds 16152  TarskiGcstrkg 25528  Itvcitv 25534  LineGclng 25535  ≤Gcleg 25676  hlGchlg 25694  pInvGcmir 25746  ⟂Gcperpg 25789 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-trkgc 25546  df-trkgb 25547  df-trkgcb 25548  df-trkg 25551  df-cgrg 25605  df-leg 25677  df-hlg 25695  df-mir 25747  df-rag 25788  df-perpg 25790 This theorem is referenced by:  opphl  25845
 Copyright terms: Public domain W3C validator