Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem4 25687
 Description: Lemma for opphl 25691. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem3.t (𝜑𝑅𝑆)
opphllem3.l (𝜑 → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
opphllem3.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem3.v (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
opphllem4.u (𝜑𝑉𝑃)
opphllem4.1 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
opphllem4.2 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
Assertion
Ref Expression
opphllem4 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem4
StepHypRef Expression
1 hpg.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . 2 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . 2 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . 2 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 opphllem4.u . 2 (𝜑𝑉𝑃)
9 opphllem3.u . 2 (𝜑𝑈𝑃)
10 opphllem5.n . . 3 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
11 eqid 2651 . . . 4 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
12 opphllem5.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑃)
131, 2, 3, 5, 11, 7, 12, 10, 9mircl 25601 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ 𝑃)
14 opphllem5.s . . 3 (𝜑𝑆𝐷)
15 opphllem5.o . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
16 opphllem5.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑃)
17 opphllem5.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝑃)
181, 2, 3, 4, 16, 17islnopp 25676 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
1915, 18mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2019simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷))
2120simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
22 opphllem5.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐷)
231, 5, 3, 7, 6, 22tglnpt 25489 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅𝑃)
24 opphl.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (hlG‘𝐺)
25 opphllem4.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
261, 3, 24, 9, 16, 23, 7, 25hlne1 25545 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑅)
2726necomd 2878 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅𝑈)
281, 3, 24, 9, 16, 23, 7, 5, 25hlln 25547 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
291, 3, 24, 9, 16, 23, 7ishlg 25542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑈𝑅𝐴𝑅 ∧ (𝑈 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝑈)))))
3025, 29mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑅𝐴𝑅 ∧ (𝑈 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝑈))))
3130simp2d 1094 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑅)
321, 3, 5, 7, 23, 9, 16, 27, 28, 31lnrot1 25563 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝑈))
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝑈))
347adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3523adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝑅𝑃)
369adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝑈𝑃)
3727adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝑅𝑈)
386adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3922adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝑅𝐷)
40 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝑈𝐷)
411, 3, 5, 34, 35, 36, 37, 37, 38, 39, 40tglinethru 25576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑈))
4233, 41eleqtrrd 2733 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈𝐷) → 𝐴𝐷)
4321, 42mtand 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑈𝐷)
447adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4512adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → 𝑀𝑃)
469adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → 𝑈𝑃)
471, 2, 3, 5, 11, 44, 45, 10, 46mirmir 25602 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = 𝑈)
486adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
491, 5, 3, 7, 6, 14tglnpt 25489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑃)
50 opphllem3.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅𝑆)
5150necomd 2878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝑅)
521, 2, 3, 5, 11, 7, 12, 10, 23mirbtwn 25598 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ((𝑁𝑅)𝐼𝑅))
53 opphllem3.v . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
5453oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑅)𝐼𝑅) = (𝑆𝐼𝑅))
5552, 54eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (𝑆𝐼𝑅))
561, 3, 5, 7, 49, 23, 12, 51, 55btwnlng1 25559 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (𝑆𝐿𝑅))
571, 3, 5, 7, 49, 23, 51, 51, 6, 14, 22tglinethru 25576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (𝑆𝐿𝑅))
5856, 57eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝐷)
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → 𝑀𝐷)
60 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → (𝑁𝑈) ∈ 𝐷)
611, 2, 3, 5, 11, 44, 10, 48, 59, 60mirln 25616 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → (𝑁‘(𝑁𝑈)) ∈ 𝐷)
6247, 61eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷) → 𝑈𝐷)
6343, 62mtand 692 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷)
6463, 43jca 553 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑈𝐷))
651, 2, 3, 5, 11, 7, 12, 10, 9mirbtwn 25598 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈))
66 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑀 → (𝑡 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈)))
6766rspcev 3340 . . . . . 6 ((𝑀𝐷𝑀 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈))
6858, 65, 67syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈))
6964, 68jca 553 . . . 4 (𝜑 → ((¬ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑈𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈)))
701, 2, 3, 4, 13, 9islnopp 25676 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑈)𝑂𝑈 ↔ ((¬ (𝑁𝑈) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑈𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ ((𝑁𝑈)𝐼𝑈))))
7169, 70mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑈)𝑂𝑈)
72 eqidd 2652 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑈) = (𝑁𝑈))
73 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
74 opphllem5.q . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
75 opphllem3.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
761, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 10, 16, 17, 22, 14, 12, 15, 73, 74, 50, 75, 9, 53opphllem3 25686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
7725, 76mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶)
78 opphllem4.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
791, 3, 24, 8, 17, 49, 7, 78hlcomd 25544 . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝐾𝑆)𝑉)
801, 3, 24, 13, 17, 8, 7, 49, 77, 79hltr 25550 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝑉)
811, 3, 24, 13, 8, 49, 7ishlg 25542 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝑉 ↔ ((𝑁𝑈) ≠ 𝑆𝑉𝑆 ∧ ((𝑁𝑈) ∈ (𝑆𝐼𝑉) ∨ 𝑉 ∈ (𝑆𝐼(𝑁𝑈))))))
8280, 81mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ≠ 𝑆𝑉𝑆 ∧ ((𝑁𝑈) ∈ (𝑆𝐼𝑉) ∨ 𝑉 ∈ (𝑆𝐼(𝑁𝑈)))))
8382simp1d 1093 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑈) ≠ 𝑆)
8482simp2d 1094 . . 3 (𝜑𝑉𝑆)
8582simp3d 1095 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∈ (𝑆𝐼𝑉) ∨ 𝑉 ∈ (𝑆𝐼(𝑁𝑈))))
861, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 8, 9, 14, 71, 58, 72, 83, 84, 85opphllem2 25685 . 2 (𝜑𝑉𝑂𝑈)
871, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 86oppcom 25681 1 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   class class class wbr 4685  {copab 4745  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  ≤Gcleg 25522  hlGchlg 25540  pInvGcmir 25592  ⟂Gcperpg 25635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-hlg 25541  df-mir 25593  df-rag 25634  df-perpg 25636 This theorem is referenced by:  opphllem5  25688
 Copyright terms: Public domain W3C validator