MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubm 17992
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubm (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 17547 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 submrcl 17547 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝑂 ∈ Mnd)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppgmndb 17985 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
52, 4sylibr 224 . . 3 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 ralcom 3236 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
7 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
97, 3, 8oppgplus 17979 . . . . . . . . 9 (𝑧(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑧)
109eleq1i 2830 . . . . . . . 8 ((𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
11102ralbii 3119 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)
126, 11bitr4i 267 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
13123anbi3i 1163 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
1413a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
15 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1715, 16, 7issubm 17548 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑥)))
183, 15oppgbas 17981 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
193, 16oppgid 17986 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝑂)
2018, 19, 8issubm 17548 . . . . 5 (𝑂 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
214, 20sylbi 207 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ↔ (𝑥 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(+g𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2214, 17, 213bitr4d 300 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
231, 5, 22pm5.21nii 367 . 2 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
2423eqriv 2757 1 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Mndcmnd 17495  SubMndcsubmnd 17535  oppgcoppg 17975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-oppg 17976
This theorem is referenced by:  oppgsubg  17993  gsumzoppg  18544
  Copyright terms: Public domain W3C validator