Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubg 18000
 Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubg (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 17807 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2 subgrcl 17807 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppggrpb 17995 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
52, 4sylibr 224 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
63oppgsubm 17999 . . . . . . 7 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
76eleq2i 2842 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
103, 9oppginv 17996 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
1110fveq1d 6334 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝑂)‘𝑦))
1211eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
1312ralbidv 3135 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
148, 13anbi12d 616 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
159issubg3 17820 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16 eqid 2771 . . . . . 6 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1716issubg3 17820 . . . . 5 (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
184, 17sylbi 207 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
1914, 15, 183bitr4d 300 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
201, 5, 19pm5.21nii 367 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2120eqriv 2768 1 (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ‘cfv 6031  SubMndcsubmnd 17542  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  SubGrpcsubg 17796  oppgcoppg 17982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-oppg 17983 This theorem is referenced by:  lsmmod2  18296  lsmdisj2r  18305
 Copyright terms: Public domain W3C validator