Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgmndb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgmndb 17906
 Description: Bidirectional form of oppgmnd 17905. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgmndb (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmndb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . 3 𝑂 = (oppg𝑅)
21oppgmnd 17905 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3 eqid 2724 . . . 4 (oppg𝑂) = (oppg𝑂)
43oppgmnd 17905 . . 3 (𝑂 ∈ Mnd → (oppg𝑂) ∈ Mnd)
5 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 5oppgbas 17902 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
73, 6oppgbas 17902 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂)))
9 eqidd 2725 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+g𝑂) = (+g𝑂)
11 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+g‘(oppg𝑂)) = (+g‘(oppg𝑂))
1210, 3, 11oppgplus 17900 . . . . . . 7 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)
13 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1413, 1, 10oppgplus 17900 . . . . . . 7 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1512, 14eqtri 2746 . . . . . 6 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1615a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
178, 9, 16mndpropd 17438 . . . 4 (⊤ → ((oppg𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd))
1817trud 1606 . . 3 ((oppg𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd)
194, 18sylib 208 . 2 (𝑂 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mnd)
202, 19impbii 199 1 (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596  ⊤wtru 1597   ∈ wcel 2103  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  Mndcmnd 17416  oppgcoppg 17896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-oppg 17897 This theorem is referenced by:  oppgsubm  17913
 Copyright terms: Public domain W3C validator