MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgmnd 18004
Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgmnd (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
2 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2oppgbas 18001 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqidd 2761 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (+g𝑂) = (+g𝑂))
6 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
7 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑂) = (+g𝑂)
86, 1, 7oppgplus 17999 . . 3 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑅)𝑥)
92, 6mndcl 17522 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1093com23 1121 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
118, 10syl5eqel 2843 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12 simpl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13 simpr3 1238 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14 simpr2 1236 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr1 1234 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
162, 6mndass 17523 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)))
1712, 13, 14, 15, 16syl13anc 1479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)))
1817eqcomd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥))
198oveq1i 6824 . . . 4 ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g𝑅)𝑥)(+g𝑂)𝑧)
206, 1, 7oppgplus 17999 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑥)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥))
2119, 20eqtri 2782 . . 3 ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥))
226, 1, 7oppgplus 17999 . . . . 5 (𝑦(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)𝑦)
2322oveq2i 6825 . . . 4 (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g𝑂)(𝑧(+g𝑅)𝑦))
246, 1, 7oppgplus 17999 . . . 4 (𝑥(+g𝑂)(𝑧(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥)
2523, 24eqtri 2782 . . 3 (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥)
2618, 21, 253eqtr4g 2819 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)))
27 eqid 2760 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
282, 27mndidcl 17529 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
296, 1, 7oppgplus 17999 . . 3 ((0g𝑅)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)(0g𝑅))
302, 6, 27mndrid 17533 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)(0g𝑅)) = 𝑥)
3129, 30syl5eq 2806 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑂)𝑥) = 𝑥)
326, 1, 7oppgplus 17999 . . 3 (𝑥(+g𝑂)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑥)
332, 6, 27mndlid 17532 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
3432, 33syl5eq 2806 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑂)(0g𝑅)) = 𝑥)
354, 5, 11, 26, 28, 31, 34ismndd 17534 1 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Mndcmnd 17515  oppgcoppg 17995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-oppg 17996
This theorem is referenced by:  oppgmndb  18005  oppggrp  18007  gsumwrev  18016  gsumzoppg  18564  gsumzinv  18565  oppgtmd  22122
  Copyright terms: Public domain W3C validator