MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglem 18000
Description: Lemma for oppgbas 18001. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppglem.2 𝐸 = Slot 𝑁
oppglem.3 𝑁 ∈ ℕ
oppglem.4 𝑁 ≠ 2
Assertion
Ref Expression
oppglem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)

Proof of Theorem oppglem
StepHypRef Expression
1 oppglem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 oppglem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16105 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 oppglem.4 . . . 4 𝑁 ≠ 2
51, 2ndxarg 16104 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
6 plusgndx 16198 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
75, 6neeq12i 2998 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
84, 7mpbir 221 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
93, 8setsnid 16137 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩))
10 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
1210, 11oppgval 17997 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩)
1312fveq2i 6356 . 2 (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩))
149, 13eqtr4i 2785 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cop 4327  cfv 6049  (class class class)co 6814  tpos ctpos 7521  cn 11232  2c2 11282  ndxcnx 16076   sSet csts 16077  Slot cslot 16078  +gcplusg 16163  oppgcoppg 17995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-oppg 17996
This theorem is referenced by:  oppgbas  18001  oppgtset  18002  oppgle  29983
  Copyright terms: Public domain W3C validator