MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgid 17978
Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgid.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgid 0 = (0g𝑂)

Proof of Theorem oppgid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 465 . . . . . 6 (((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦))
2 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 oppgbas.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppg𝑅)
4 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (+g𝑂) = (+g𝑂)
52, 3, 4oppgplus 17971 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑅)𝑥)
65eqeq1i 2757 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦)
72, 3, 4oppgplus 17971 . . . . . . . 8 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
87eqeq1i 2757 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦)
96, 8anbi12i 735 . . . . . 6 (((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦))
101, 9bitr4i 267 . . . . 5 (((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦))
1110ralbii 3110 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦))
1211anbi2i 732 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦)))
1312iotabii 6026 . 2 (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14 eqid 2752 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15 oppgid.2 . . 3 0 = (0g𝑅)
1614, 2, 15grpidval 17453 . 2 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑥) = 𝑦)))
173, 14oppgbas 17973 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18 eqid 2752 . . 3 (0g𝑂) = (0g𝑂)
1917, 4, 18grpidval 17453 . 2 (0g𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑂)𝑥) = 𝑦)))
2013, 16, 193eqtr4i 2784 1 0 = (0g𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cio 6002  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  0gc0g 16294  oppgcoppg 17967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-oppg 17968
This theorem is referenced by:  oppggrp  17979  oppginv  17981  oppgsubm  17984  gsumwrev  17988  lsmdisj2r  18290  gsumzoppg  18536  tgpconncomp  22109
  Copyright terms: Public domain W3C validator