Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppggrpb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppggrpb 17995
 Description: Bidirectional form of oppggrp 17994. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppggrpb (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrpb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . 3 𝑂 = (oppg𝑅)
21oppggrp 17994 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
3 eqid 2771 . . . 4 (oppg𝑂) = (oppg𝑂)
43oppggrp 17994 . . 3 (𝑂 ∈ Grp → (oppg𝑂) ∈ Grp)
5 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 5oppgbas 17988 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
73, 6oppgbas 17988 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂)))
9 eqidd 2772 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10 eqid 2771 . . . . . . . 8 (+g𝑂) = (+g𝑂)
11 eqid 2771 . . . . . . . 8 (+g‘(oppg𝑂)) = (+g‘(oppg𝑂))
1210, 3, 11oppgplus 17986 . . . . . . 7 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)
13 eqid 2771 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1413, 1, 10oppgplus 17986 . . . . . . 7 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1512, 14eqtri 2793 . . . . . 6 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1615a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
178, 9, 16grppropd 17645 . . . 4 (⊤ → ((oppg𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp))
1817trud 1641 . . 3 ((oppg𝑂) ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
194, 18sylib 208 . 2 (𝑂 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Grp)
202, 19impbii 199 1 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  ⊤wtru 1632   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17630  oppgcoppg 17982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-oppg 17983 This theorem is referenced by:  oppgsubg  18000  ogrpaddltrbid  30061
 Copyright terms: Public domain W3C validator